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广义相对论是物理学中一个荒谬高等和复杂的范畴，要果真清晰它，需要荒谬深厚的数学布景。广义相对论波及的几何学荒谬复杂，需要掌捏无数的数学学问和手段。

“迂回时空（Curved Spacetime）”是一个让东说念主们感到困惑的办法，但在一维和二维空间中，“曲率”和“迂回性”黑白常基本、直不雅的办法。它们甚而可能深深地植入咱们的想维中，因为对于像咱们这么的有视觉的生物来说，迂回和直线是界限识别的要津办法。在当代的宇宙里，钟、球、裙子和泡泡的迂回几何体式，对每个四岁以上的孩子来说皆是直不雅的。

当数学家关心浅显办法时，他们试图将这些办法推广到咱们所练习的范围以外。数学是一门商榷轨则和详尽办法之间关系的科学。当数学家对这些咱们认为理所虽然的办法进行深入的索乞降详尽，再尽可能地拓展它们时，最终获取的限制可能会与咱们原先的清晰大相径庭，显得荒谬目生和不同。

当咱们听到“曲率”这个词时，咱们会盼望它与咱们依然练习的、不错直不雅感受到的东西关连。但是，当咱们试图将这个办法应用到更高维度的空间中时，咱们的直不雅感受就会失效，因为咱们无法笔直在心里假想出四维或更高维度空间的曲率。

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在浅显语语中，“迂回”经常是指与“平坦”相对的情状。当咱们说一个物体或空间是“迂回”的时分，咱们经常是在说它不是平坦的。而在数学中，尽头是在几何学中，“平坦几何”有一个更具体的含义。它指的是撤职欧几里得公理体系的几何学，即欧几里得几何学。在这个体系中，平行线耐久不会相交，两条线段的最短距离是一条直线，以过甚他一些基本假定。因此，对于数学家来说，当他们说一个几何空间是“平坦”的时分，他们的道理是这个空间撤职欧几里得几何学的章程。

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数学史上解脱欧几里得几何学的发展流程荒谬意旨且裕如用率，尤其是在十九世纪。在阿谁时期，数学家运行探索欧几里得几何学以外的几何体系，如非欧几里得几何学（包括双曲几何和椭圆几何）。投入二十一生纪，当代几何学络续是一个充满活力的商榷范畴。数学家们不停建议新的想到，探索愈加详尽的几何办法，举例拓扑几何、代数几何和微分几多么。

不要试图假想它

当咱们想要清晰二维曲面（如球面或圆柱面）的曲率时，一种直不雅的法子是不雅察这个曲面怎么从一个平面（二维空间）迂回投入到第三维度空间。换句话说，咱们接洽曲面在垂直于原始平面方进取的迂回进程。举例，球面的曲率在各个点皆是交流的，因为不管从哪个标的不雅察，它皆以交流的方式迂回；而圆柱面在沿着圆柱轴线的方进取是笔直的（莫得曲率），但在垂直于轴线的方进取是迂回的。通过接洽这种从平面到第三维度的迂回进程，咱们不错更好地清晰二维曲面的曲率特质。

在三维及以上维数的流形中，我认为想考曲率的方式是祛除“迂回性”和“迂回”的办法。咱们根蒂无法假想三维空间的迂回意味着什么，或者四维时空的迂回意味着什么，是以咱们必须转向更渊博、更详尽的办法。

违抗，接洽那些偏离或不相宜欧几里得几何公理的几何结构，概况提供更多的活泼性和有用性。在当代微分几何学中，这种偏离欧几里得几何的性质不错通过两个数学用具来量化，这两个用具即是张量：黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）和污蔑张量（Torsion）。

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球面上矢量绕闭环（从A到N再到B再回到A）的平行迁移。它旋转的角度与环内的面积成正比。

此外，咱们不错诳骗平行迁移（parallel transport）的办法的迁延性（比拟隔邻的切空间，以便咱们不错进行微积分）来简化问题：左证伪黎曼几何的基本定理，咱们不错通过聘用放手污蔑的界说来独一地界说平行迁移，从而使曲率张量（黎曼张量）成为了刻画几何空间偏离欧几里得公理的独一和完整的用具。尽头是，黎曼张量不错量化空间偏离欧几里得几何中的第五个公设——平行公设的进程。

在欧几里得几何中，平行公设指的是通过给定点有且只消一条直线平行于给定直线。在非欧几里得几何中，这个公设不再建设，黎曼张量即是用来刻画这种偏离的量化用具。

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曲率张量是一种数学用具，用于计划空间中协变导数（一种接洽了空间曲率的导数）的弗成交换性。在平坦的欧几里得空间中，协变导数是可交换的，这意味着两个标的的导数的法式不错互换而不更正限制。但是，在迂回的空间中，这种交换性经常不建设，曲率张量即是用来刻画这种弗成交换性的进程。

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因此，曲率张量不错被看作是一个计划空间迂回进程的量化用具。要是一个空间的曲率张量处处为零，那么这个空间即是平坦的，不错与欧几里得空间建筑等距映射（一种保持距离不变的映射）。要辱骂率张量不为零，那么就不存在这么的等距映射，曲率张量就成为了存在等距映射的一个贫苦，也即是说，它阻隔了空间与欧几里得空间之间的完整对应。这种可积性贫苦是指在迂回空间中，无法像在平坦空间中那样目田地进行积分和微分操作。

发祥：二维曲面几何

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曲率张量的办法背后有一个意旨的历史。它始于二维曲面的曲率，皇冠导航网其中十九世纪的几何学家认为二维曲面镶嵌在三维和更高维度的空间中。曲率是左证密切曲面的圆的曲率来界说的。要是你不知说念什么是密切圆（osculating circle），参考底下的动图

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在曲面上的苟且给定点，最初找到单元法向量，然后构造一个与曲面垂直相交的平面。这个平面不错朝任何标的，然后在这个平面上绘图一个与曲面相切的圆，即圆在战斗点的曲率半径与曲面在该点的曲率半径交流。当这个切割平面围绕单元法向量旋转时，切圆的半径的倒数，即曲率，在最大值和最小值之间平滑变化——这两个极值是主曲率。

扫视，在鞍点上方有切割平面，在这种情况下与主曲率平面呈45度角，这些是无限长的等高线，即曲率精准地为零。这些直线等高线是切平面与鞍面的交线，其他等高线是双弧线；

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鞍点辱骂面上的一个点，在这个点上，曲面在一个方进取是特出的（正曲率），而在另一个垂直方进取是凹下的（负曲率）。这种体式不异于马鞍，因此得名鞍点。

在鞍点上方，不错构造一个切割平面，使其与曲面的两个主曲率平面呈45度角。在这个特定的角度，切割平面与曲面的交线（等高线）是直线，而不是弧线。

这些直线等高线示意曲面在这些方进取的曲率为零，即曲面在这些方进取是平坦的。这与鞍点的特质一致，即在某些方进取曲率为正，在垂直方进取曲率为负。

除了直线等高线以外，鞍点隔邻的其他等高线经常是双弧线体式，这反应了曲面在这些方进取的曲率变化。

底下的图应该使这小数更明晰：

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对于这个鞍形，最大和最小曲率的大小交流但标志违抗。但在不合称的鞍形中，其他角度是可能的，具有不同大小的最小和最大曲率。

是以这是起始，十九世纪几何学家对曲率的办法——这一切皆与镶嵌和曲面与其地点的三维空间之间的关系关连，这种关系通过密切圆的办法体现。

因此，咱们不错看出为什么高斯在发现两个主曲率的乘积（咱们咫尺称之为高斯曲率）辱骂面的内在属性时，他会惊呼“Theorema Egregium！”（“杰出的定理”）。这个曲率不错从一个叫作念度规张量的量入网算出来，而不需要参考任何镶嵌。用工夫术语来说：高斯曲率对于曲面的任多么距变换是不变的，举例，两个外不雅荒谬不同的旋转面和螺旋面之间的著名等距变换。它透彻寂然于任何镶嵌办法。底下的动图证明了这种等价性，我以为这很迷东说念主：

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欧几里得的教条过甚最终的倒塌

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"Theorema Egregium"在好多方面皆远远卓越了它的时间，它清晰了对于曲面几何的一些果真出东说念主意象的东西。

与此同期，数学家雅诺什·博利亚伊和尼古拉·洛巴切夫斯基差异独就地证明了欧几里得的第五公设（平行公设）在逻辑上寂然于其他四个公设。他们通过构造知足欧几里得前四个公设但不知足第五个公设的几何模子来证明这小数。这些模子组成了双曲几何的基础，这是一种与欧几里得几何不同的几何体系。双曲几何的典型杀青包括庞加莱圆盘和庞加莱双曲半平面。

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几个世纪以来，东说念主们一直臆想欧几里得的第五公设不错推导出来，因此不寂然于其他四个。对于第五公设的“证明”有着悠久的历史，“从欧几里得的其他公理中推导出来”。博利亚伊和洛巴切夫斯基更正了一切。两千年的教条化想想化为废地，因此他们的豪举既需要勇气也需要贤慧。

当代黎曼曲率办法

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咱们不错总结性地看到从高斯、洛巴切夫斯基和博利亚伊运行的历史到广义相对论之间的一条澄莹旅途。

黎曼几何的商榷通过里奇微积分和张量分析的发现（黎曼是高斯的学生，他发展了非欧几里得几何的想想）获取了系统化，这率领咱们到了黎曼几何的基本定理和对曲率张量当作偏离欧几里得第五公设的量化的严格遴选。

其中一个办法是当作测地线偏差的度量。在几何学中，测地线是空间中两点之间最短旅途的扩充。在曲面或曲率空间中，测地线可能不是直线。测地线偏差是一种度量，用来刻画两条相邻测地线之间的分离进程跟着它们前进的变化。

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测地线偏差笔直挑战了欧几里得第五公设，因为在非欧几里得几何中（如双曲几何），不错有多条通过给定点的测地线与给定的测地线不相交。

临了，在爱因斯坦的广义相对论之后，Ambrose-Singer定理标明，曲率，因此欧几里得几何的透彻量化不错通过Holonomy的办法来详情——即测试向量在绕环路“平行迁移”时的变化。这小数很紧迫，因为黎曼几何和里奇微积分将曲率视为标的协变导数之间的换位子。

Holonomy即是测试向量在绕环路平行迁移并与迁移前的自己进行比拟时，与起始的偏离进程。我心爱将黎曼曲率张量看作是一个矩阵（变换）值函数R(X,Y)，它是两个向量X和Y的函数，这两个向量界说了一个无限小的平行四边形环路。变换将第三个向量Z映射到它在绕小环路平行迁顷然所经验的变化，如下图所示。

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偏差与 X 和 Y 界说的平行四边形所围成的环路面积成正比。黎曼张量汲取两个向量 X 和 Y，并输出一个变换 R(X,Y)。然后，将此变换施加到 Z 上，以谋略 Z 由于绕环路平行迁移而引起的变化。用标志示意，变换不错写成一阶方法

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一个空间是欧几里得空间当且仅当这个变换是恒等变换，即当且仅当向量在绕任何可能的环路平行迁顷然不发生变化。因此，变化的大小精准量化了空间的非欧几里得性。证明度量在开邻域 P 内界说了一个平坦空间当且仅当黎曼张量 R 在这个邻域内处处脱色，这个证明荒谬纰漏皇冠手机登录地址大全，提供了深化的细察。

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